Узнаем как понять, почему «плюс» на «минус» дает «минус» ?

Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается добраться до сути и разобраться, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел выходит положительное.

Законы математики

Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель...


Плюс на минус даетКстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».

Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.

Аксиома кольца

Существует несколько математических законов.

  • Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
  • Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).

Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).

Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.

математика минус на минус дает плюс

Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.


Выведение аксиом для отрицательных чисел

Приняв приведенные выше утверждения, можно ответить на вопрос: «"Плюс" на "минус" дает какой знак?» Зная аксиому про умножение отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) х V = -(C х V). А также, что верно такое равенство: (-(-C)) = C.

Для этого придется вначале доказать, что у каждого из элементов существует лишь один ему противоположный «собрат». Рассмотрим следующий пример доказательства. Давайте попробуем представить, что для C противоположными являются два числа - V и D. Из этого следует, что C + V = 0 и C + D = 0, то есть C + V = 0 = C + D. Вспоминая о переместительных законах и о свойствах числа 0, можно рассмотреть сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем выяснить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ведь значение C + D, как было принято выше, равняется 0. Значит, V = V + C + D.


Минус на плюс дает знак

Точно так же выводится и значение для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.

Для того чтобы понять, почему все же «плюс» на «минус» дает «минус», необходимо разобраться со следующим. Так, для элемента (-C) противоположными являются C и (-(-C)), то есть между собой они равны.

Тогда очевидно, что 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. Из этого следует, что C х V противоположно (-)C х V, значит, (-C) х V = -(C х V).

Для полной математической строгости необходимо еще подтвердить, что 0 х V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А это значит, что прибавление произведения 0 х V никак не меняет установленную сумму. Ведь это произведение равняется нулю.

Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «плюс» на «минус» дает, но и что получается при умножении отрицательных чисел.

Умножение и деление двух чисел со знаком «-»

Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.

Допустим, что C - (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D - V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C - (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.

(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.

Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:

1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;

2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;

3) (-C) х 0 + C х V = D;

4) C х V = D.

Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).

Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.

Общие математические правила

Конечно, такое объяснение не подойдет для школьников младших классов, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше объяснять на видимых предметах, манипулируя знакомым им термином зазеркалья. Например, придуманные, но не существующие игрушки находятся именно там. Их и можно отобразить со знаком «-». Умножение двух зазеркальных объектов переносит их в еще один мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы имеем положительные числа. А вот умножение абстрактного отрицательного числа на положительное лишь дает знакомый всем результат. Ведь «плюс» умножить на «минус» дает «минус». Правда, в младшем школьном возрасте дети не слишком-то пытаются вникнуть во все математические нюансы.Плюс умножить на минус дает

Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием так и остаются загадкой многие правила. Все принимают как данность то, что преподают им учителя, не затрудняясь вникать во все сложности, которые таит в себе математика. «Минус» на «минус» дает «плюс» – об этом знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.

Что это - алгебра? Простыми словами о сложной науке
Что такое алгебра? Какие темы изучают по алгебре? Зачем она нужна? Как алгебра поможет в жизни? Какие науки применяют алгебру? Ответы на вопросы можно найти в статье.
далее
Деление на ноль: почему нельзя?
Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.
далее
Логарифмы: примеры и решения
Знаменитый математик и физик Лаплас утверждал, что изобретение логарифмов позволило сократить вычислительные труда астронома и удвоить его жизнь. Давайте изучим подробнее "мир логарифмов".
далее
О быстрой и полезной еде. Плюс и минус мультиварки
О пользе еды, приготовленной в мультиварке, известно многое. Она готовит без лишнего жира, блюда получаются менее калорийными и более здоровыми. В дополнение к основным достоинствам мультиварки все же имеют недостатки, которые, однако, не мешают нам ...
далее
Узнаем как выучить математику с нуля самостоятельно?
В статье представлены полезные рекомендации о том, как выучить математику. Дан ответ на вопрос, можно ли выучить математику с нуля, и как это сделать самостоятельно. Приведены примеры по запоминанию и изучению различных тем.
далее
Что это - дал и как его готовят?
Многие интересуются тем, что такое дал. На самом деле это одно из популярных и пикантных блюд восточной страны. Это традиционный пряный суп-пюре, основанный на разваренных бобовых.
далее
Что это - дал и как его готовят?
Дальнозоркость - это плюс или минус? Причины дальнозоркости. Дальнозоркость возрастная
В данной статье рассматривается принцип функционирования зрительной системы человека, а также проблемы, которые могут с ней возникнуть. Более детально рассмотрены вопросы дальнозоркости, причины её возникновения, а также методы профилактики и лечения.
далее
Дальнозоркость - это плюс или минус? Причины дальнозоркости. Дальнозоркость возрастная
Координатная прямая. Точки на координатной прямой. Узнаем как построить координатную прямую
Чтобы допускать меньше ошибок по невнимательности, следует использовать в расчётах графики, иллюстрируя задачи. А для этого, в свою очередь, необходимо знать, что такое координатная прямая и уметь её строить. Начнем изучение вопроса с самых азов.
далее
Координатная прямая. Точки на координатной прямой. Узнаем как построить координатную прямую
Газовое оборудование на автомобиль: цена и отзывы. Газовое оборудование на автомобиль: преимущества и недостатки
В последнее время все больше автолюбителей стали задумываться о переоборудовании своих "железных коней" с бензина на газ. На это есть целый ряд причин, главная из которых – постоянно растущие ценники на автозаправках.
далее
Газовое оборудование на автомобиль: цена и отзывы. Газовое оборудование на автомобиль: преимущества и недостатки
Арбузная диета - минус 10 кг за неделю: результаты, преимущества и недостатки, отзывы
Быть в прекрасной форме – мечта каждой женщины и некоторых мужчин. Существует много способов воплотить мечту в жизнь. Один из них - арбузная диета.
далее
Арбузная диета - минус 10 кг за неделю: результаты, преимущества и недостатки, отзывы