Простейшие логические операции в информатике

Каждого, кто начинает изучать информатику, учат двоичной системе исчисления. Именно она используется для вычисления логических операций. Рассмотрим ниже все самые элементарные логические операции в информатике. Ведь если задуматься, именно они используются при создании логики вычислительных машин и приборов.

Отрицание

Перед тем как начать подробно рассматривать конкретные примеры, перечислим основные логические операции в информатике:

логические операции в информатике

  • отрицание;
  • сложение;
  • умножение;
  • следование;
  • равенство.

Также перед началом изучения логических операций стоит сказать, что в информатике ложь обозначается "0", а правда "1".

Для каждого действия, как и в обычной математике, используются следующие знаки логических операций в информатике: ¬, v, &, ->.

Каждое действие возможно описать либо цифрами 1/0, либо просто логическими выражениями. Начнём рассмотрение математической логики с простейшей операции, использующей всего одну переменную.

Логическое отрицание - операция инверсии. Суть заключается в том, что если исходное выражение - истина, то результат инверсии - ложь. И наоборот, если исходное выражение - ложь, то результатом инверсии станет - правда.


При записи этого выражения используется следующее обозначение "¬A".

Приведём таблицу истинности - схему, которая показывает все возможные результаты операции при любых исходных данных.

Таблица истинности для инверсии
Ахо
¬Aох

То есть, если у нас исходное выражение - истина (1), то его отрицание будет ложным (0). А если исходное выражение - ложь (0), то его отрицание - истина (1).

Сложение

Оставшиеся операции требуют наличия двух переменных. Обозначим одно выражение - информатика свойства логических операцийА, второе - В. Логические операции в информатике, обозначающие действие сложения (или дизъюнкция), при написании обозначаются либо словом "или", либо значком "v". Распишем возможные варианты данных и результаты вычислений.

  1. Е=1, Н=1 ,тогда Е v Н = 1. Если оба выражения истинны, тогда и их дизъюнкция также истинна.
  2. Е=0, Н=1 ,в итоге Е v Н = 1. Е=1, Н=0 , тогда Е v Н= 1. Если хотябы одно из выражений истинно, тогда и результат их сложения будет истиной.
  3. Е=0, Н=0 ,результат Е v Н = 0. Если оба выражения ложны, то их сумма также - ложь.

Для краткости создадим таблицу истинности.


Дизъюнкция
Еххоо
Нхохо
Е v Нхххо

Умножение

Разобравшись с операцией сложения, переходим к умножению (конъюнкции). Воспользуемся теми же обозначениями, которые были приведены выше для сложения. При письме логическое умножение обозначается значком "&", либо буквой "И".

  1. Е=1, Н=1 ,тогда Е & Н = 1. Если оба выражения истинны, тогда их конъюнкция - истина.
  2. Если хотя бы одно из выражений - ложь, тогда результатом логического умножения также будет ложь.
  • Е=1, Н=0, поэтому Е & Н = 0.
  • Е=0, Н=1, тогда Е & Н = 0.
  • Е=0, Н=0, итог Е & Н = 0.
Конъюнкция
Ехх00
Нх0х0
Е & Нх000

Следствие

Логическая операция следования (импликация) - одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме - из правды не может следовать ложь.

  1. Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться - правда.
  2. Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться - также может быть истиной.
  3. Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются - тоже правда.
  4. Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются - ложь.

Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.


Импликация
Еххоо
Нхох0
Е -> Нхохх

Равенство

Последней рассмотренной операцией станет логическое тождественное равенство или эквивалентность. В тексте оно может обозначаться как "...тогда и только тогда, когда...". Исходя из этой формулировки, напишем примеры для всех исходных вариантов.

основные логические операции в информатике

  1. А=1, В=1, тогда А≡В = 1. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (истина)
  2. А=0, В=0, в итоге А≡В = 1. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (истина)
  3. А=1, В=0, поэтому А≡В = 0. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (ложь)
  4. А=0, В=1 ,тогда А≡В = 0. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (ложь)
Эквивалентность
Ахохо
Вхо0х
А≡Вххоо

Свойства

Итак, рассмотрев простейшие логические операции в информатике, можем приступить к изучению некоторых их свойств. Как и в математике, у логических операций существует свой порядок обработки. В больших логических выражениях операции в скобках выполняются в первую очередь. После них первым делом подсчитываем все значения отрицания в примере. Следующим шагом станет вычисление конъюнкции, а затем дизъюнкции. Только после этого выполняем операцию следствия и, наконец, эквивалентности. Рассмотрим небольшой пример для наглядности.

А v В & ¬В -> В ≡ А

Порядок выполнения действий следующий.

  1. ¬В
  2. В&(¬В)
  3. А v(В&(¬В))
  4. (А v(В&(¬В)))->В
  5. ((А v(В&(¬В)))->В)≡А

Для того чтобы решить этот пример, нам потребуется построить расширенную таблицу истинности. При её создании помните, что столбцы лучше располагать в том же порядке, в каком и будут выполняться действия.

Решение примера
АВ

¬В

В&(¬В)

А v(В&(¬В))

(А v(В&(¬В)))->В

((А v(В&(¬В)))->В)≡А

хохоххх
ххооххх
оохоохо
охооохо

Как мы видим, результатом решения примера станет последний столбец. Таблица истинности помогла решить задачу с любыми возможными исходными данными.

знаки логических операций в информатике

Заключение

В этой статье были рассмотрены некоторые понятия математической логики, такие как информатика, свойства логических операций, а также - что такое логические операции сами по себе. Были приведены некоторые простейшие примеры для решения задач по математической логике и таблицы истинности, необходимые для упрощения этого процесса.

Информатика: таблица истинности. Построение таблиц истинности
В этой статье речь пойдет о предмете под названием информатика. Таблица истинности, разновидности функций, порядок их выполнения – это наши основные вопросы, на которые мы постараемся найти ответы в статье.
далее
Логическая операция. Основные логические операции
Вся современная компьютерная наука базируется на логических операциях. Их можно назвать основополагающей составляющей. В программировании вычислительных систем понятие логической операции – это некое действие, после выполнения которого порождается ...
далее
Информатика. Преобразование логических выражений
В предложенной работе будет подробно рассмотрен вопрос преобразования логических выражений. Кроме этого, предлагаем вам пройти краткий курс по логике, где будут рассматриваться основные законы и понятия. Преобразование логических выражений – это ...
далее
Узнаем как упрощать логические выражения: функции, законы и примеры
Сегодня мы вместе научимся упрощать логические выражения, познакомимся с основными законами и изучим таблицы истинности функций логики.
далее
Алгоритм построения таблиц истинности логических выражений
Сегодня в данной работе будет подробно рассмотрен вопрос построения таблиц истинности логических выражений. С данной проблемой часто встречаются школьники, сдающие единый государственный экзамен по информатике.
далее
Булева алгебра. Алгебра логики. Элементы математической логики
Все чаще мы слышим выражение «булева алгебра». Пожалуй, пришло время разобраться в роли человека в создании роботов и умении машин решать не только математические, но и логические задачи.
далее
Булева алгебра. Алгебра логики. Элементы математической логики
Таблица эквивалентности, пример решения логической задачи с операцией равнозначности
Сегодня мы предлагаем поговорить о логических функциях. Приведем таблицу эквивалентности, так как это основной наш вопрос.
далее
Таблица эквивалентности, пример решения логической задачи с операцией равнозначности
Арифметико-логическое устройство (АЛУ): понятия и определения
Как известно, процессор компьютера состоит из четырех базовых компонентов: арифметико-логического устройства, модуля ввода/вывода, а также блоков памяти и управления. Такую архитектуру определили еще в прошлом веке и, несмотря на то что прошло немало времени, классическая структура фон Неймана остается актуальной.
далее
Арифметико-логическое устройство (АЛУ): понятия и определения
Узнаем как составить таблицу истинности для сложного логического выражения
Сегодня мы постараемся объяснить, как составить таблицу истинности для логического выражения. Обратите внимание на то, что булева алгебра встречается, по меньшей мере, в трех заданиях единого государственного экзамена. Если вы прочитаете данную статью, то, наверняка, получите больше баллов на экзамене по информатике.
далее
Узнаем как составить таблицу истинности для сложного логического выражения