Производные чисел: способы вычисления и примеры

Наверное, понятие производной знакомо каждому из нас ещё со школы. Обычно у учеников возникают трудности с пониманием этой, несомненно, очень важной вещи. Она активно применяется в различных областях жизни людей, и многие инженерные разработки были основаны именно на математических расчётах, полученных с помощью производной. Но прежде чем перейти к разбору того, что же такое производные чисел, как их вычислять и где они нам пригодятся, окунёмся немного в историю.

История

Понятие производной, являющееся основой математического анализа, было открыто (лучше даже сказать "изобретено", потому что в природе оно как таковое не существовало) Исааком Ньютоном, которого мы все знаем по открытию закона всемирного тяготения. Именно он впервые применил в физике это понятие для связывания природы скорости и ускорения тел. И многие учёные до сих пор восхваляют Ньютона за это великолепное изобретение, ведь по сути он изобрёл основу дифференциального и интегрального исчисления, фактически основу целой области математики под названием "математический анализ". Будь в то время Нобелевская премия, Ньютон с большой вероятностью получил бы её несколько раз.


Не обошлось и без других великих умов. Кроме Ньютона над развитием производной и интеграла потрудились такие именитые гении математики, как Леонард Эйлер, Луи Лагранж и Готфрид Лейбниц. Именно благодаря им мы получили теорию дифференциального исчисления в таком виде, в котором она существует по сей день. Кстати, это Лейбниц открыл геометрический смысл производной, которая оказалась ничем иным, как тангенсом угла наклона касательной к графику функции.

Что же такое производные чисел? Немного повторим то, что проходили в школе.

производные чисел

Что такое производная?

Определять это понятие можно несколькими разными способами. Самое простое объяснение: производная - это скорость изменения функции. Представим график какой-нибудь функции y от x. Если это не прямая, то она имеет некоторые изгибы в графике, периоды возрастания и убывания. Если брать какой-нибудь бесконечно малый промежуток этого графика, он будет представлять собой отрезок прямой. Так вот, отношение размера этого бесконечно малого отрезка по координате y к размеру по координате x и будет являться производной данной функции в данной точке. Если рассматривать функцию в целом, а не в конкретной точке, то мы получим функцию производной, то есть некую зависимость игрек от икс.


К тому же кроме физического смысла производной как скорости изменения функции есть ещё и геометрический смысл. О нём мы сейчас и поговорим.

производные чисел это

Геометрический смысл

Производные чисел сами по себе представляют собой некое число, которое без должного понимания не несёт никакого смысла. Оказывается, производная не только показывает скорость роста или уменьшения функции, а также тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не совсем понятное определение. Разберём его поподробнее. Допустим, у нас есть график какой-либо функции (для интереса возьмём кривую). На ней есть бесконечное множество точек, но есть такие области, где только одна единственная точка имеет максимум или минимум. Через любую такую точку можно провести прямую, которая была бы перпендикулярна графику функции в этой точке. Такая линия будет называться касательной. Допустим, мы провели её до пересечения с осью OX. Так вот, полученный между касательной и осью OX угол и будет определяться производной. А точнее, тангенс этого угла будет равняться ей.


Поговорим немного о частных случаях и разберём производные чисел.

производная комплексного числа

Частные случаи

Как мы уже говорили, производные чисел - это значения производной в конкретной точке. Вот например, возьмём функцию y=x2. Производная х - число, а в общем случае - функция, равная 2*x. Если нам необходимо вычислить производную, скажем, в точке x0= 1, то получаем y'(1)=2*1=2. Всё очень просто. Интересный случай представляет производная комплексного числа. Вдаваться в подробное объяснение того, что такое комплексное число, мы не будем. Скажем лишь, что это число, которое содержит в себе так называемую мнимую единицу - число, квадрат которого равен -1. Вычисление такой производной возможно только при наличии следующих условий:

1) Должны существовать частные производные первого порядка от действительной и мнимой части по игрек и по икс.

2) Выполняются условия Коши-Римана, связанные с равенством частных производных, описанных в первом пункте.

Другим интересным случаем, хотя и не таким сложным как предыдущий, является производная отрицательного числа. На самом деле любое отрицательное число можно представить как положительное, умноженное на -1. Ну а производная постоянной и функции равна постоянной, умноженной на производную функции.

Интересно будет узнать о роли производной в повседневной жизни, и именно это сейчас и обсудим.

производная x число

Применение

Наверное, каждый из нас хоть раз в жизни ловит себя на мысли, что математика вряд ли пригодится ему. А такая сложная штука, как производная, наверное, вообще не имеет применения. На самом деле, математика - фундаментальная наука, и все её плоды развивает в основном физика, химия, астрономия и даже экономика. Производная положила начало математическому анализу, который дал нам возможность делать выводы из графиков функций, и мы научились интерпретировать законы природы и обращать их в свою пользу благодаря ему.

производная отрицательного числа

Заключение

Конечно, не каждому, возможно, пригодится производная в реальной жизни. Но математика развивает логику, которая уж точно будет нужна. Не зря ведь математику называют царицей наук: из неё складываются основы понимания других областей знаний.

Физический смысл производной функции. Задачи на физический смысл ...
Уяснить физический смысл производной совсем не так сложно, как может показаться непосвящённому в суть вопроса. На самом деле любой автомобилист справляется с подобной задачей каждый день, когда смотрит на спидометр, определяя скорость своей машины.
далее
Дифференциальные исчисления функции одной и нескольких переменных
Дифференциальное исчисление является разделом математического анализа, который изучает производную, дифференциалы и их использование при исследовании функции.
далее
Дифференциалы - что это? Отвечаем на вопрос. Как найти дифференциал ...
Наряду с производными функций их дифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при ...
далее
Применение производной. Построение графиков с использованием ...
Математика берет свои истоки со времен Античности. Благодаря ней архитектура, строительство и военное дело дали новый виток развития, достижения, которые были получены с помощью математики, привели к движению прогресса. И по сей день математика ...
далее
Производная синуса угла равна косинусу того же угла
Производная синуса выводится на основании определения предела функции. Подробно описаны все преобразования. Рассмотрен пример дифференцирования сложной функции.
далее
Производная синуса угла равна косинусу того же угла
Булева алгебра. Алгебра логики. Элементы математической логики
Все чаще мы слышим выражение «булева алгебра». Пожалуй, пришло время разобраться в роли человека в создании роботов и умении машин решать не только математические, но и логические задачи.
далее
Булева алгебра. Алгебра логики. Элементы математической логики
Что это - интеграл, и каков его физический смысл
Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века объяснил, что такое интеграл настолько понятно, что разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.
далее
Что это - интеграл, и каков его физический смысл
Что это - алгебра? Простыми словами о сложной науке
Что такое алгебра? Какие темы изучают по алгебре? Зачем она нужна? Как алгебра поможет в жизни? Какие науки применяют алгебру? Ответы на вопросы можно найти в статье.
далее
Что это - алгебра? Простыми словами о сложной науке
Экстремумы функции — простым языком о сложном
О том, что такое экстремумы функции одной и двух переменных, можно прочитать в этой заметке максимально простым человеческим языком.
далее
Экстремумы функции — простым языком о сложном