Узнаем как вычислять дисперсию: разъяснение с примерами

Как вычислять дисперсию: разъяснение с примерами

Теория вероятностей работает со случайными величинами. Для случайных величин существуют так называемые законы распределения. Такой закон свою случайную величину описывает с абсолютной полнотой. Однако при работе с реальными наборами случайных величин сразу установить закон их распределения часто очень трудно и ограничиваются некоторым набором численных характеристик. Например, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины часто бывает очень полезно.

Зачем это нужно

Если суть математического ожидания по смыслу близка к среднему значению величины, то в таком случае дисперсия говорит, как разбросаны значения нашей величины вокруг этого математического ожидания. Например, если мы измеряли IQ у группы людей и хотим исследовать результаты измерений (выборку), математическое ожидание покажет примерное среднее значение коэффициента интеллекта у данной группы людей, а если вычислить дисперсию выборки, мы узнаем, как результаты группируются около математического ожидания: кучкой вблизи него (маленький разброс IQ) или более равномерно на всем участке от минимального до максимального результата (большой разброс, и где-то в середине - мат. ожидание).


Чтобы вычислить дисперсию, необходима новая характеристика случайной величины - отклонение значения от математического ожидания.

Отклонение

Чтобы понять, как вычислять дисперсию, надо сначала разобраться с отклонением. Его определение - разность между значением, которое принимает случайная величина и ее математическим ожиданием. Грубо говоря, для того чтобы понять, как величина "разбрасывается", нужно посмотреть, каким образом распределяется ее отклонение. То есть, мы заменяем значение величины значением ее отклонения от мат. ожидания и исследуем уже его закон распределения.

Закон распределения дискретной, то есть принимающей отдельные значения случайной величины записывается в виде таблицы, где значение величины соотнесено с вероятностью ее появления. Тогда в законе распределения отклонения случайная величина заменится на его формулу, в которой присутствует величина (сохранившая свою вероятность) и ее же мат. ожидание.


Свойства закона распределения отклонения случайной величины

У нас записан закон распределения отклонения случайной величины. Из него мы можем извлечь пока только такую характеристику, как математическое ожидание. Для удобства лучше взять численный пример.

Пусть имеется закон распределения какой-нибудь случайной величины: X - значение, p - вероятность.

Закон распределения

Рассчитываем математическое ожидание по формуле и сразу же отклонения.

Математическое ожидание

Рисуем новую таблицу распределения отклонения.

Закон распределения для отклонения

Рассчитываем математическое ожидание и здесь.

Математическое ожидание для отклонения

Получается ноль. Пример лишь один, но так будет всегда: это нетрудно доказать в общем случае. Формулу математического ожидания отклонения можно разложить на разность математических ожиданий случайной величины и, как бы ни криво это звучало, математического ожидания мат. ожидания (рекурсия, однако), что есть одно и то же, следовательно, их разность будет равна нулю.

Это ожидаемо: ведь отклонения по знаку бывают как положительными, так и отрицательными, следовательно, в среднем должны давать ноль.

Как вычислять дисперсию дискретной случ. величины

Если мат. ожидание отклонения высчитывать бессмысленно, надо искать что-то другое. Можно просто взять абсолютные значения отклонений (по модулю); но с модулями все не так просто, поэтому отклонения возводят в квадрат, а потом считают их математическое ожидание. Собственно, это и имеется в виду, когда говорят о том, как вычислять дисперсию.


То есть, мы берем отклонения, возводим их в квадрат и составляем таблицу из квадратов отклонений и вероятностей, которые соответствуют случайным величинам. Это новый закон распределения. Чтобы посчитать математическое ожидание, необходимо сложить произведения квадрата отклонения и вероятности.

Более простая формула

Однако началась статья с того, что закон распределения изначальной случайной величины зачастую бывает неизвестен. Поэтому нужно что-то полегче. Действительно, существует другая формула, позволяющая вычислить дисперсию выборки с помощью только мат. ожидания:

Дисперсия - разность между мат. ожиданием квадрата случайной величины и, наоборот, квадратом ее мат. ожидания.

Доказательство этому существует, однако приводить его здесь не имеет смысла, так как оно не имеет практической ценности (а нам-то нужно только посчитать дисперсию).

Как вычислять дисперсию случайной величины в вариационных рядах

В реальной статистике невозможно отразить все случайные величины (потому что их, грубо говоря, как правило, бесконечно много). Поэтому то, что попадает в исследование - так называемая репрезентативная выборка из какой-то общей генеральной совокупности. И, поскольку численные характеристики любой случайной величины из такой генеральной совокупности рассчитываются по выборке, они называются выборочными: выборочное среднее, соответственно, выборочная дисперсия. Вычислить ее можно точно так же, как и обычную (через квадраты отклонений).

Выборочная смещенная дисперсия

Однако такую дисперсию называют смещенной. Формула несмещенной дисперсии выглядит немного по-другому. Посчитать требуется обычно именно ее.

Выборочная несмещенная дисперсия

Небольшое дополнение

С дисперсией связана еще одна численная характеристика. Она также служит для оценки того, как рассеивается случайная величина вокруг своего мат. ожидания. В способах, как вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение нет большой разницы: последнее - это квадратный корень из первого.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Математическое ожидание и дисперсия - это одни из основных понятий в теории вероятности. Если вы разберетесь с ними как следует, дальнейшее изучение предмета станет значительно проще.
далее
Средневзвешенное значение - что это и как его вычислить?
В математике, экономике и статистике используется большое количество расчетов средних значений. Чем они отличаются друг от друга, какой имеют смысл, и как их вычислить?
далее
Средняя величина в статистике. Средние величины
Каждый человек в современном мире, планируя взять кредит или делая запасы овощей на зиму, периодически сталкивает с таким понятием, как «средняя величина». Давайте узнаем: что это такое, какие ее виды и классы существуют и зачем она применяется в ...
далее
Основное понятие теории вероятности. Законы теории вероятности
Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах.
далее
Функции распределения случайной величины. Узнаем как найти функцию ...
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.
далее
Критерий Манна-Уитни: пример, таблица
Критерий в математической статистике - это строгое правило, в соответствии с которым гипотеза с определённым уровнем значимости принимается или отвергается. Чтобы построить его, необходимо найти определенную функцию.
далее
Критерий Манна-Уитни: пример, таблица
Эксцесс что это -. Значение понятия
Статья описывает роль статистики как науки. Рассмотрено понятие эксцесса и его использование в статистике.
далее
Эксцесс что это -. Значение понятия
Сущность и разновидности средних величин в статистике и способы их вычисления. Виды средних величин в статистике кратко: примеры, таблица
Начиная изучение такой науки, как статистика, следует понимать, что она содержит (как и любая наука) много терминов, которые необходимо знать и понимать. Сегодня мы разберём такое понятие, как средняя величина, и выясним, на какие виды она делится, как их вычислять. Ну а перед тем как начать, поговорим немного об истории, и о том, как и зачем возникла такая наука, как статистика.
далее
Сущность и разновидности средних величин в статистике и способы их вычисления. Виды средних величин в статистике кратко: примеры, таблица