Правильный пятиугольник: необходимый минимум информации

Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).

Чем интересен правильный пятиугольник?

правильный пятиугольникИменно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!


Основные свойства и формулы

площадь правильного пятиугольника

Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.

  • Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
  • Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
  • Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть "золотому сечению" (примерно 1,618).
  • Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:
  • если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
  • в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
  • бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.
  • Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
  • если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:

S = (n*a*r)/2 = 2, a*r либо S = (n*R2*sin α)/2 ≈ 2,3776*R2;


  • площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:

S = ( a2*tg54°)/4 ≈ 1,720 a2.

Правильный пятиугольник: построение

правильный пятиугольник построениеДанную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.

1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.

2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.

3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.

4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.

5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.

6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.

7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить точкой G.

8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.

9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!

Правильный многоугольник. Число сторон правильного многоугольника
Треугольник, квадрат, шестиугольник – эти фигуры известны практически всем. Но вот о том, что такое правильный многоугольник, знает далеко не каждый. А ведь это все те же геометрические фигуры. Правильным многоугольником называют тот, что имеет ...
далее
Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной
Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.
далее
Многогранники. Виды многогранников и их свойства
Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая ...
далее
Узнаем как правильно нарисовать звезду с помощью линейки быстро?
Казалось бы, нет ничего сложного в деле рисования звезд. Но как сделать ее ровной и красивой? Существует особая техника, которая объясняет, как нарисовать звезду с помощью линейки.
далее
Выпуклые многоугольники. Определение выпуклого многоугольника. ...
Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, ...
далее
Правильный шестиугольник: чем он интересен и как его построить
Есть ли поблизости от Вас карандаш? Взгляните-ка на его сечение – оно представляет собой правильный шестиугольник или, как его еще называют, гексагон. Такую форму имеет также сечение гайки, поле гексагональных шахмат, кристаллическая решетка некоторых сложных молекул углерода (к примеру, графит), снежинка, пчелиные соты и другие объекты.
далее
Правильный шестиугольник: чем он интересен и как его построить
Пятиконечная звезда. Как правильно нарисовать ее быстро и просто
Самое первое изображение пятиконечной звезды, найденное археологами, датируется 3500 годом до нашей эры. Она была запечатлена на глиняной табличке, найденной при раскопках шумерского города Урук.
далее
Пятиконечная звезда. Как правильно нарисовать ее быстро и просто
Оригами: как изготовить додекаэдр из бумаги
Додекаэдр - это многогранник, состоящий из 12 одинаковых пятиугольников. Это базовая фигура для множества поделок: от настольных календарей до ажурных подвесных фонариков. В статье разбирается два важных вопроса о том, как начертить пятиугольник и как на его основе сделать додекаэдр из бумаги. А также приводятся варианты поделок.
далее
Оригами: как изготовить додекаэдр из бумаги
Что это - окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики
Чтобы иметь четкое представление о том, что такое окружность, нужно обязательно знать о ее основных характеристиках, свойствах и взаимосвязях с другими геометрическими фигурами. Подробнее обо всем этом читайте в статье далее.
далее
Что это - окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики
Пентагон - что это? Отвечаем на вопрос. Краткое описание здания
Пентагон – это сооружение пятиугольной формы. Является штаб-квартирой Министерства обороны Соединённых Штатов Америки. Это самое крупное административное здание мира. Кроме того, это самый защищённый военный объект Штатов. Где находится Пентагон в Америке? Расположено здание недалеко от столицы США, города Вашингтона (штат Виргиния).
далее
Пентагон - что это? Отвечаем на вопрос. Краткое описание здания