Десятичная система счисления: основание, примеры и перевод в другие системы счисления

С того момента, как человек впервые осознал себя автономным объектом в мире, огляделся вокруг, прервав замкнутый круг бездумного выживания, он начал изучать. Смотрел, сравнивал, считал, делал выводы. Именно на этих, казалось бы, элементарных действиях, которые сейчас под силу и ребенку, начали основываться современные науки.

С чем работать будем?

Для начала необходимо определиться с тем, что вообще представляет собой система счисления. Это условный принцип записи чисел, их наглядное представление, которое упрощает процесс познания. Сами по себе числа не существуют (да простит нас Пифагор, который считал число основой мироздания). Это просто абстрактный объект, что имеет физическое обоснование лишь при вычислениях, своеобразное мерило. Цифры - объекты, из которых число составляется.


Вавилонская система счисления, возникшая за тысячи лет до наступления новой эры, была началом...

Начало

Первый осознанный счет носил самый примитивный характер. Теперь его принято называть непозиционной системой счисления. На практике она представляет собой число, в которых позиция составляющих его элементов неважна. Взять, к примеру, обыкновенные черточки, каждая из которых соответствует определенному объекту: три человека эквивалентны |||. Как ни крути, три черточки - это все те же три черточки. Если брать более близкие примеры, то древние новгородцы пользовались при счете славянским алфавитом. При необходимости выделения именно числа над буквой просто проставляли знак ~. Также буквенная система счисления была в почете у древних римлян, где числа – это опять же буквы, но принадлежащие уже латинскому алфавиту.


Современные математические навыки, с которыми знаком даже первоклассник, ранее были непосильными...

В силу обособленности древних держав, каждая из них развивала науку самостоятельно, кто во что горазд. десятичная система счисленияПримечателен тот факт, что альтернативная десятичная система счисления была выведена еще египтянами. Однако "родственницей" привычного нам понятия считать ее нельзя, так как принцип счета отличался: жители Египта использовали число десять как основание, оперируя степенями.

С развитием и усложнением процесса познания мира появилась потребность выделения разрядов. Представим, что нужно как-то зафиксировать численность армии государства, которая измеряется тысячами (в лучшем случае). Что ж теперь, бесконечно выписывать палочки? Из-за этого шумерские ученые тех лет выделили систему счисления, в которой месторасположение символа было обусловлено его разрядом. Опять же, пример: числа 789 и 987 имеют один и тот же "состав", но, в силу смены расположения цифр, второе существенно больше.

Что это такое - десятичная система счисления? Обоснование

Конечно, позиционность и закономерность были не едиными для всех методов подсчета. Например, в Вавилоне базой выступало число 60, в Греции - алфавитная система (число составляли буквы). Примечательно то, что метод подсчета жителей Вавилона жив и по сей день - он нашел свое место в астрономии.

Однако прижилась и распространилась та, у которой основание системы счисления - десятка, так как прослеживается откровенная параллель с пальцами человеческих рук. Посудите сами - поочередно сгибая пальцы, можно досчитаться чуть ли не до бесконечного множества.основание системы счисления


В статье рассказывается о том, что собой представляет шестнадцатиричная система счисления и где она...

Начало этой системе было положено в Индии, причем она появилась сразу на базе «10». Формирование названий чисел было двояким – например, 18 можно было прописать словом и как «восемнадцать», и как «без двух двадцать». Также именно индийские ученые вывели такое понятие, как «ноль», официально его появление зафиксировано в IX веке. Именно этот шаг стал основополагающим в формировании классических позиционных систем счисления, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых – единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число – просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет. Вот вам и «ничто».

Современность

что это такое десятичная система счисления

Десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу:

крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево – получите десятки, еще шаг влево – сотни и так далее. Сложно? Ничего подобного! На самом деле, десятичная система примеры может предоставить весьма наглядные, взять хотя бы число 666. Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число – «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10. Развернутая форма представляет собой следующее выражение:

66610 = 6х102 + 6*101 + 6*100 = 600 + 60 + 6.

Актуальные альтернативы

Второй по популярности после десятичной системы счисления является достаточно молодая разновидность - двоичная (бинарная). Появилась она благодаря вездесущему Лейбницу, который считал, что в особо сложных случаях в исследовании теории чисел бинарность будет удобнее, нежели десятизначность. Свое повсеместное распространение она получила с развитием цифровых технологий, так как имеет в основании число 2, и элементы в ней составляются из цифр 1 и 2. перевести в десятичную систему счисленияКодирование информации происходит в данной системе, так как 1 - наличие сигнала, 0 - его отсутствие. На основании этого принципа можно показать несколько наглядных примеров, демонстрирующих перевод в десятичную систему счисления.

С течением времени процессы, связанные с программированием, усложнялись, поэтому ввели способы записи чисел, у которых в основании лежат 8 и 16. Почему именно они? Во-первых, количество знаков больше, а значит, само число будет короче, во-вторых - в их основе лежит степень двойки. Восьмеричная система состоит из цифр 0-7, а шестнадцатеричная - из тех же цифр, что и десятичная, плюс буквы от A до F.

Принципы и методы перевода числа

Перевести в десятичную систему счисления просто, достаточно придерживаться следующего принципа: исходное число записывается как многочлен, который состоит из сумм произведений каждого числа на основу "2", возведенную в соответствующую разрядности степень.перевод в десятичную систему счисления

Основная формула для вычисления:

x2 = yk2k-1 + yk-12k-2 + yk-22k-3 + ...+ y221 + y120.

Примеры перевода

Для закрепления рассмотрим несколько выражений:

1011112 = (1x25) + (0x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (1x20) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 4710.

Усложним задачу, ибо система включает в себя перевод и дробных чисел, для этого рассмотрим отдельно целую и отдельно дробную часть - 111110,112. Итак:

111110,112 = (1x25) + (1x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (0x20) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 6210;

112 = 2-1x1 + 2-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,7510.

В итоге получаем, что 111110,112 = 62,7510.

Вывод

десятичная система счисления примеры

Несмотря на всю «древность», десятичная система счисления, примеры которой мы рассмотрели выше, все еще «на коне», и списывать ее со счетов не стоит. Именно она становится математической основой в школе, на ее примере познаются законы математической логики, выводится умение строить выверенные взаимосвязи. Да что уж там - практически весь мир пользуется именно этой системой, не смущаясь ее неактуальностью. Причина для этого одна: она удобная. В принципе, вывести основу счета можно любую, ею при необходимости станет даже яблоко, но зачем усложнять? Идеально выверенное количество цифр при необходимости и по пальцам пересчитать можно.

Информатика - система счисления. Виды систем счисления
В курсе информатики особое место уделяется такому понятию, как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий с целью не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и ...
далее
Системы счисления. Пример непозиционных систем счисления
Римская нумерация - пример непозиционной системы счисления, она известна нам сейчас. Также римская система активно используется, но не для математических расчетов, а для узко направленных действий. Например, с помощью римских чисел принято ...
далее
Система счисления троичная - таблица. Узнаем как перевести в троичную ...
В информатике, кроме привычной нам десятичной системы счисления, существуют различные варианты целочисленных позиционных систем. Одной из таких является троичная.
далее
Бинарные числа: двоичная система счисления
Любая вычислительная техника нашего времени работает на основе двоичной системы счисления, однако это очень древнее изобретение.
далее
Вавилонская система счисления: принцип построения и примеры
Вавилонская система счисления, возникшая за тысячи лет до наступления новой эры, была началом начала математики. Несмотря на свой древнейший возраст, она поддалась расшифровке и раскрыла исследователям множество тайн Древнего Востока. Мы тоже сейчас окунемся в прошлое и узнаем, как считали древние.
далее
Вавилонская система счисления: принцип построения и примеры
Египетская система счисления. История, описание, достоинства и недостатки, примеры древнеегипетской системы счисления
Современные математические навыки, с которыми знаком даже первоклассник, ранее были непосильными для умнейших людей. Огромный вклад в развитие этой отрасли внесла египетская система счисления, некоторые элементы которой мы до сих пор используем в первозданном виде.
далее
Египетская система счисления. История, описание, достоинства и недостатки, примеры древнеегипетской системы счисления
Зачем нужна шестнадцатиричная система счисления
В статье рассказывается о том, что собой представляет шестнадцатиричная система счисления и где она применяется.
далее
Зачем нужна шестнадцатиричная система счисления
Римская система счисления - красиво, но сложно?
Римская система счисления была распространена в Европе в Средневековье, однако, в связи с тем, что она оказалась неудобной в использовании, сегодня она практически не применяется. Ее вытеснили более простые арабские цифры, которые сделали арифметику гораздо более простой и легкой.
далее
Римская система счисления - красиво, но сложно?