Расчет массы однородного и полого цилиндров

Расчет массы однородного и полого цилиндров

Цилиндр является одной из простых объемных фигур, которую изучают в школьном курсе геометрии (раздел стереометрия). При этом часто возникают задачи на расчет объема и массы цилиндра, а также на определение площади его поверхности. Ответы на отмеченные вопросы даны в этой статье.

Что такое цилиндр?

Свеча в форме цилиндра

Перед тем как переходить к ответу на вопрос, чему равна масса цилиндра и его объем, стоит рассмотреть, что представляет собой эта пространственная фигура. Сразу необходимо отметить, что цилиндр - это трехмерный объект. То есть в пространстве можно измерить три его параметра по каждой из осей в декартовой прямоугольной системе координат. В действительности для однозначного определения размеров цилиндра достаточно знать всего два его параметра.


Объем и площадь поверхности
Поверхности развернутого цилиндра

Как можно заметить из вышесказанного, цилиндр определяется двумя параметрами: высотой h и радиусом его основания r. Зная эти параметры, можно рассчитать все другие характеристики рассматриваемого тела. Ниже приводятся основные из них:


  • Площадь оснований. Эта величина рассчитывается по формуле: S1 = 2*pi*r2, где pi - число пи, равное 3,14. Цифра 2 в формуле появляется потому, что цилиндр имеет два одинаковых основания.
  • Площадь цилиндрической поверхности. Ее можно рассчитать так: S2 = 2*pi*r*h. Понять эту формулу просто: если цилиндрическую поверхность разрезать вертикально от одного основания к другому и развернуть, то получится прямоугольник, высота которого будет равна высоте цилиндра, а ширина будет соответствовать длине окружности основания объемной фигуры. Поскольку площадь полученного прямоугольника - это произведение его сторон, которые равны h и 2*pi*r, то получается представленная выше формула.
  • Площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме площадей S1 и S2, получаем: S3 = S1 + S2 = 2*pi*r2 + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r+h).
  • Объем. Эта величина находится просто, необходимо лишь умножить площадь одного основания на высоту фигуры: V = (S1/2)*h = pi*r2*h.

Определение массы цилиндра

Наконец, стоит перейти непосредственно к теме статьи. Как определить массу цилиндра? Для этого необходимо знать его объем, формула для вычисления которого была представлена выше. И плотность вещества, из которого он состоит. Масса определяется по простой формуле: m = ρ*V, где ρ - плотность материала, образующего рассматриваемый объект.

Понятие плотности характеризует массу вещества, которое находится в единице объема пространства. Например. Известно, что железо имеет большую плотность, чем дерево. Это означает, что в случае одинаковых объемов вещества железа и дерева первое будет иметь намного большую массу, чем второе (приблизительно в 16 раз).


Расчет массы медного цилиндра

Медные цилиндры

Рассмотрим простую задачу. Необходимо найти массу цилиндра, сделанного из меди. Для определенности пусть цилиндр имеет диаметр 20 см и высоту 10 см.

Перед тем как приступать к решению задачи, следует разобраться с исходными данными. Радиус цилиндра равен половине его диаметра, значит r = 20/2 = 10 см, высота же составляет h = 10 см. Поскольку рассматриваемый в задаче цилиндр сделан из меди, то, обращаясь к справочным данным, выписываем значение плотности этого материала: ρ = 8,96 г/см3 (для температуры 20 °C).

Теперь можно приступать к решению задачи. Для начала рассчитаем объем: V =pi*r2*h = 3,1 (10)2*10 = 3140 см3. Тогда масса цилиндра будет равна: m = ρ*V = 8,96 * 3140 = 28134 грамм или приблизительно 28 килограмм.

Следует обратить внимание на размерность единиц во время их использования в соответствующих формулах. Так, в задаче все параметры были представлены в сантиметрах и граммах.

Однородный и полый цилиндры

Металлические полые цилиндры

Из полученного выше результата можно видеть, что медный цилиндр с относительно малыми размерами (10 см) обладает большой массой (28 кг). Это связано не только с тем, что он сделан из тяжелого материала, но и с тем, что он является однородным. Этот факт важно понимать, поскольку приведенную выше формулу для расчета массы можно использовать только в случае, если цилиндр полностью (снаружи и внутри) состоит из одного и того же материала, то есть является однородным.

На практике же часто используют полые цилиндры (например, цилиндрические бочки для воды). То есть они сделаны из тонких листов какого-то материала, а внутри являются пустыми. Для полого цилиндра указанной формулой расчета массы пользоваться нельзя.

Расчет массы полого цилиндра

Цилиндрическая бочка

Интересно рассчитать, какой массой будет обладать цилиндр из меди, если он является пустым внутри. Для примера пусть он будет сделан из тонкого медного листа толщиной всего d = 2 мм.

Чтобы решить эту задачу, нужно найти объем самой меди, из которой сделан объект. А не объем цилиндра. Поскольку толщина листа мала, по сравнению с размерами цилиндра (d = 2 мм и r = 10 см), тогда объем меди, из которой изготовлен предмет, можно найти, если умножить всю площадь поверхности цилиндра на толщину медного листа, получаем: V = d*S3 = d*2*pi*r*(r+h). Подставляя данные из предыдущей задачи, получим: V = 0,2*2*3,1 10*(10+10) = 251,2 см3. Массу полого цилиндра можно получить, если умножить полученный объем меди, который потребовался для его изготовления, на плотность меди: m = 251,2 * 8,96 = 2251 г или 2,3 кг. То есть рассмотренный полый цилиндр весит в 12 (28,1/2,3) раз меньше, чем однородный.

Двигатель 2111: специфические особенности, технические характеристики ...
Двигатель 2111 продолжил серию силовых установок, выпускаемых ВАЗом, сменив на конвейере модели 21083 и 2110. Этот мотор считается первым полностью доработанным отечественным инжекторным движком.
далее
ВАЗ-21083, двигатель: характеристики
Для нового семейства автомобилей с передним приводом были разработаны двигатели различного объема (1100, 1300 и 1500 куб.см). Освоение самого мощного 72-сильного варианта двигателя 21083 затянулось на несколько лет. Но именно этому вариант суждено ...
далее
Двигатель ВАЗ 21213: характеристики
Одним из самых известных автомобилей завода ВАЗ является внедорожник «Нива». Машина начала производиться в 1976 году и, пройдя через ряд модернизаций, продолжает оставаться на конвейере под обозначением 4х4 или 4х4 «Урбан».
далее
Двигатель F16D3: характеристики, описание, особенности обслуживания
Двигатель F16D3: описание, особенности, комплектующие. Двигатель F16D3: технические характеристики, обслуживание, фото.
далее
Лодочный мотор Ветерок: характеристики и отзывы
Статья посвящена лодочному мотору "Ветерок". Рассмотрены технические характеристики силового агрегата, правила эксплуатации, техобслуживания и ремонта.
далее
Мотоциклы Урал М62: характеристики, фото
В конце 30-х годов 20 века в Народном комиссариате обороны СССР прошло совещание, основной темой которого был анализ новых образцов военной техники, и перспективы принятия лучших из них на вооружение РККА. Одним из видов техники, в котором остро нуждалась РККА, был армейский мотоцикл. После проведения анализа образцов лучшим оказался мотоцикл немецкой фирмы BMW - R71.
далее
Мотоциклы Урал М62: характеристики, фото
Двигатели Лифан: характеристики и отзывы
Моторы "Лифан": модификации, описание, особенности, применение. "Лифан" моторы: характеристики, обзор, фото, отзывы.
далее
Двигатели Лифан: характеристики и отзывы
Двигатель 4216. УМЗ-4216. Технические характеристики
Ныне популярные и распространенные коммерческие автомобили марки ГАЗ укомплектованы двигателями УМЗ, производимыми на Ульяновском моторном заводе.
далее
Двигатель 4216. УМЗ-4216. Технические характеристики
Двигатель РМЗ-640: устройство, модернизация
РМЗ-640 «Буран» является двухтактной конфигурацией. Содержит кривошипно-камерную продувку, оснащенную карбюратором. Содержит в себе двухцилиндровый двигатель.
далее
Двигатель РМЗ-640: устройство, модернизация