Область определения - что это? Отвечаем на вопрос.

Область определения - это что такое?

Если сказать просто и кратко, то область определения - это те значения, которые может принимать какая-либо функция. Для того чтобы до конца исследовать эту тему, нужно поэтапно разобрать следующие пункты и понятия. Для начала давайте разберемся с определением функции и историей его появления.

Что такое функция

Все точные науки предоставляют нам множество примеров, когда рассматриваемые переменные каким-то образом зависят одна от другой. Например, плотность вещества полностью определяется его массой и объемом. Давление идеального газа при постоянном объеме варьируется вместе с температурой. Эти примеры объединяет тот факт, что все формулы имеют зависимости между переменными, которые и называются функциональными.


Функции в математике

Функция - это понятие, выражающее зависимость одной величины от другой. Имеет вид y = f(x), где у - значение функции, которое зависит от х - аргумента. Таким образом, можно сказать, что у - переменная, зависимая от значения х. Значения, которые может принимать х, в совокупности составляют область определения заданной функции (D(y) или D(f)), а соответственно, значения у составляют множество значений функции (E(f) или E(y)). Бывают случаи, когда функция задана какой-либо формулой. В таком случае область определения состоит из значения таких переменных, при котором запись с формулой имеет смысл.

Есть совпадающие или равные функции. Это две функции, у которых равны области допустимых значений, а также значения самой функции равны при всех одинаковых аргументах.

Многие законы точных наук называются аналогично ситуациям в реальной жизни. Есть такой интересный факт также и о математической функции. Существует теорема о пределе функции, "зажатой" между двумя другими, имеющими одинаковый предел, - о двух полицейских. Объясняют ее так: раз уж два полицейских ведут между собой заключенного в камеру, то преступник вынужден туда идти, и выбора у него просто нет.


Историческая справка о функции

Понятие функции не сразу стало окончательным и точным, оно претерпело длинный путь становления. Сначала в работе Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест», которую опубликовали в конце 17-го века, говорилось следующее:

Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место.

В целом этот труд говорит о функциональной зависимости и ее материальном изображении (место = линия).

Также приблизительно в это же время Рене Декарт изучал линии по их уравнениям в своей работе "Геометрия" (1637 год), где опять же прослеживался факт зависимости двух величин друг от друга.

Само упоминание о термине "функция" появилось только в конце 17-го века у Лейбница, но не в современной его интерпретации. В своем научном труде он посчитал, что функция - это различные отрезки, связанные с какой-либо кривой линией.

Но вот уже в 18-м веке функцию начали определять более верно. Бернулли писал следующее:

Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной.

Ученый Бернулли

Размышления Эйлера были также близки к этому:

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

***

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых.

Ученый Эйлер

График функции

График функции составляют все точки, принадлежащие осям координатной плоскости, абсциссы которых принимают значения аргумента, а значения функции в этих точках являются ординатами.

Область определения функции напрямую связана с ее графиком, потому что если какие-либо абсциссы исключаются областью допустимых значений, то нужно рисовать пустые точки на графике или же рисовать график в определенных пределах. Например, если берется график вида y = tgx, то из области определения исключается значение x = pi/2 +pi*n, n∉R, в случае с графиком тангенса нужно нарисовать вертикальные линии параллельно оси Оу (они называются асимптоты), проходящие через точки ±pi/2.

Любые основательные и тщательные исследования функций составляют большой раздел математики, который называется математическим анализом. В простейшей математике тоже затрагивают элементарные вопросы, касающиеся функций, например построение простого графика и установление некоторых основных свойств функции.

Чем может быть задана функция

Функция может:

  • являться формулой, например: y = cos x;
  • задаваться какой-либо таблицей из пар вида (х; у);
  • сразу иметь графический вид, для этого пары из прошлого пункта вида (х; у) должны быть изображены на осях координат.
График функций

Будьте внимательны при решении некоторых заданий высокого уровня, практически любое выражение можно рассматривать как функцию относительно какого-либо аргумента для значения функции y (x). Найти область определения в таких заданиях может стать ключом к решению.

Для чего нужна область определения?

Первое, что нужно знать о функции для ее изучения или построения, - это ее область определения. График должен содержать только те точки, в которых функция может существовать. Область определения (х) может также называться областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ).

Алгебраические формулы

Чтобы правильно и быстро построить график функций, вам необходимо знать область определения данной функции, потому что от нее зависит внешний вид графика и верность построения. Например, для построения функции y = √x нужно знать, что х может принимать только положительные значения. Поэтому строится только в первой координатной четверти.

Область определения на примере элементарных функций

В своем арсенале математика имеет малое количество простых, определенных функций. У них ограниченная область определения. Решение этого вопроса не вызовет сложностей даже в том случае, если перед вами оказалась так называемая сложная функция. Это всего лишь комбинация из нескольких простых.

  1. Итак, функция может являться дробной, например: f(x) = 1/x. Таким образом, переменная (наш аргумент) находится в знаменателе, а всем известно, что знаменатель дроби не может быть равным 0, следовательно, аргумент может принимать любые значения, кроме 0. Запись будет иметь следующий вид: D(y) = x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Если в знаменателе будет какое-то выражение с переменной, то нужно решить уравнение относительно x и исключить значения, которые обращают знаменатель в 0. Для схематического изображения достаточно 5 грамотно выбранных точек. Графиком данной функции будет являться гипербола с вертикальной асимптотой, проходящей через точку (0; 0) и по совместительству оси Ох и Оу. Если графическое изображение будет пересекаться с асимптотами, то такая ошибка будет считаться грубейшей.
  2. Но какова же область определения у корня? Область определения у функции с подкоренным выражением (f(x) = √(2x + 5)), содержащим переменную, также имеет свои нюансы (имеет отношение только к корню четной степени). Так как арифметический корень является положительным или равным 0 выражением, то подкоренное выражение должно быть большим либо равным 0, решаем такое неравенство: 2х + 5 ≥ 0, х ≥ -2,5, следовательно, область определения данной функции: D(y) = x ∈ (-2,5; +∞). График представляет собой одну из ветвей параболы, повернутую на 90 градусов, находящуюся в первой координатной четверти.
  3. Если имеем дело с логарифмической функцией, то следует помнить, что действует ограничение касаемо основания логарифма и выражения под знаком логарифма, найти область определения в этом случае можно следующим образом. Имеем функцию: y = loga(х + 7), решаем неравенство: х + 7 > 0, х > -7. Тогда область определения этой функции - D(y) = x ∈ (-7; +∞).
  4. Также обращайте внимания на тригонометрические функции вида y = tgx и y = ctgx, так как y = tgx = sinx/cos/x и y = ctgx = cosx/sinx, следовательно, нужно исключить значения, при которых знаменатель может быть равен нулю. Если вы знакомы с графиками тригонометрических функций, разобраться в их области определения - это простая задача.
Вертикальные асимптоты

Чем отличается работа со сложными функциями

Помните несколько основных правил. Если работаем со сложной функцией, то не нужно что-то решать, упрощать, складывать дроби, приводить к наименьшему общему знаменателю и извлекать корни. Мы должны исследовать данную функцию, потому что различные (даже тождественные) операции могут изменить область определения функции, что приведет к получению неверного ответа.

Например, имеем сложную функцию: y = (x2 - 4)/(x - 2). Мы не можем сократить числитель и знаменатель дроби, так как это возможно, только если х ≠ 2, а это и является задачей поиска области определения функции, поэтому не раскладываем на множители числитель и не решаем никаких неравенств, ведь значение, при котором функция не существует, видно невооруженным взглядом. В данном случае х не может принимать значения 2, так как знаменатель не может обращаться в 0, запись будет выглядеть так: D(y) = x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

Взаимно-обратные функции

Для начала стоит сказать, что функция может стать обратимой только на промежутке возрастания или убывания. Для того чтобы найти обратную функцию, нужно в записи поменять местами х и у и решить уравнение относительно х. Области определения и области значения просто меняются местами.

Взаимно-обратные функции

Главное условие обратимости - монотонный промежуток функции, если функция имеет промежутки возрастания и убывания, то можно составить обратную ей функцию какого-либо одного промежутка (возрастающего или убывающего).

Например, для экспоненциальной функции y = ex взаимно-обратной будет натуральная логарифмическая y = logea = lna. Для тригонометрических это будут функции с приставкой arc-: y = sinx и y = arcsinx и так далее. Графики будут располагаться симметрично по отношению к некоторым осям или асимптотам.

Выводы

Поиск области допустимых значений сводится к исследованию графика функций (если он есть), записи и решению необходимой конкретной системы неравенств.

Так, эта статья вам помогла понять, для чего нужна область определения функции и как ее найти. Надеемся, что она поможет вам хорошо разбираться в базовом школьном курсе.

Наука - что это? Отвечаем на вопрос. Определение, суть, задачи, ...
Наука - это сфера профессиональной деятельности человека, как и любая другая - индустриальная, педагогическая и т. п. Единственное ее отличие заключается в том, что главная цель, которую она преследует, - получение научного знания. В этом и состоит ...
далее
Перестройка 1985-1991 в СССР: краткое описание, причины и последствия
Давайте выясним, что же представляла собой Перестройка в СССР (1985-1991). Кратко попробуем охарактеризовать её причины и последствия.
далее
Горячие клавиши Word. Сочетания клавиш в Microsoft Word
В программе Microsoft Word имеется огромное количество инструментов, позволяющих изменить текст до неузнаваемости. Любой из них можно найти в стандартных меню (версия 2003 года и раньше) или на ленте инструментов (версии 2007 года и позже). Но поиск ...
далее
Безработица в России: уровень, статистика, размер пособия
Даже в условиях экономического кризиса уровень безработицы в России еще не такой высокий, как когда-то прогнозировалось. Однако рынок труда сталкивается с рядом структурных недостатков, например, с растущей безработицей среди молодежи.
далее
Щелочь – это основание или нет? Каковы ее свойства?
Что такое кислота или соль, большинству прекрасно известно. Сложно найти человека, который не держал в руках бутылку уксуса или не использовал в жизни пищевой продукт, без которого практически любая еда кажется пресной и невкусной. А вот что такое щелочь? Это то же самое, что основание, или нет? Чем она отличается от кислоты? Подобные вопросы способны озадачить кого угодно, а потому позволим себе освежить те знания, которые когда-то были получены в школе.
далее
Щелочь – это основание или нет? Каковы ее свойства?
Гипотезы происхождения Земли
Различные гипотезы происхождения Земли и зарождения мира возникали в умах людей с тех пор, когда человек впервые задумался о своем месте во Вселенной и о том, что существует за пределами привычной ему территории. Сегодня научная теория имеет довольно гармоничное строение, однако еще остается множество вопросов без ответа.
далее
Гипотезы происхождения Земли
Свободная жидкость в брюшной полости: возможные причины
В медицине скопление жидкости в брюшной полости называется также брюшной водянкой, способной сопровождать множество урологических, онкологических, гинекологических, кардиологических, гастроэнтерологических, лимфологических и других болезней. Асцит - это не самостоятельное заболевание. Он выступает в качестве показателя какого-либо тяжелого дефекта в организме человека.
далее
Свободная жидкость в брюшной полости: возможные причины
Свойства и строение углеводов. Функции углеводов
Для организма человека, равно как и остальных живых существ, необходима энергия. Без нее невозможно протекание никаких процессов. Ведь каждая биохимическая реакция, любой ферментативный процесс или этап метаболизма нуждается в энергетическом источнике.
далее
Свойства и строение углеводов. Функции углеводов
Функция полезности и ее характеристики
Функция полезности показывает, что с увеличением количества товара на рынке его ценные свойства теряются, и общество уже не хочет приобретать то, что распространено массово.
далее
Функция полезности и ее характеристики