Степени чисел: исторические факты, определение, основные свойства

Простейшие математические выражения стали известны людям еще в глубокой древности. В то же время постоянно шло совершенствование как самих операций, так и их записи на том или ином носителе.

В частности, в Древнем Египте, чьи ученые внесли заметный вклад как в развитие элементарной арифметики, так и в создание основ алгебры и геометрии, обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий. Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.


Решение нашел знаменитый Диофант Александрийский, который придумал специальный математический знак, который стал показывать, сколько раз необходимо умножить то или иное число на само себя. Впоследствии известный французский математик Р. Декарт усовершенствовал написание этого выражения, предложив при обозначении степени чисел просто приписывать ее в правом верхнем углу над основным числом.

Завершающим аккордом в письменном оформлении степени чисел стала деятельность небезызвестного Н. Шюке, который ввел в научный оборот сначала отрицательную, а затем и нулевую степень.

Что же означает фраза «возвести степень»? Для начала необходимо понять, что само по себе возведение в степень представляет собой одну из важнейших бинарных математических операций, суть которой состоит в неоднократном умножении числа на само себя.


В общем виде данная операция обозначается выражением «XY». В этом случае «X» будет называться основанием степени, а «Y» - ее показателем. В данном случае «возвести в степень» можно будет расшифровать как «умножить «X» на само себя «Y» раз».

Степени чисел, как и большинство других математических элементов, обладают определенными свойствами:

1. При возведении в нулевую степень любого числа, отличного от нуля (как положительного, так и отрицательного) получится единица.

х^^0 = 1

2. Степени чисел, где показатели имеют отрицательное значение, следует преобразовать в выражение с положительным показателем

х-а =1/х^а

3. Для того чтобы осуществить умножение чисел со степенями, следует помнить, что данная операция возможна только в том случае, если у них одинаковые основания. При этом умножение чисел со степенями осуществляется в соответствии со следующим правилом: основание остается без изменений, а к показателю одного прибавляется величина показателей остальных степеней.

x^y x^z = x^y+z

4. В том случае, когда происходит деление степеней, необходимо придерживаться того же правила, только вместо суммы в показателе будет разность.

x^y /x^z = x^y-z

5. Еще одна важнейшее свойство степеней связано с теми ситуациями, когда требуется возвести в степень сам показатель степени. В этом случае необходимо перемножить оба эти показателя.

(x^y)^z = x^y.z

6. В ряде случаев есть необходимость расписать степень произведения через степень чисел. В этом случае необходимо иметь в виду, что степень произведения вычисляется в соответствии вот с этим правилом:

(xyz)^a = x^a y^a z^a

7. Если возникнет необходимость расписать степень частного, то первое, на что следует обратить внимание, это то, что основание знаменателя не может быть равно нулю. В остальном же необходимо придерживаться следующей формулы:

(x/y)^a = x^a / y^a

Определенные трудности встречаются тогда, когда требуется возвести в степень основание, выражение которого меньше нуля. Результат в этом случае может быть как отрицательным, так и положительным. Зависеть он будет от показателя степени, а именно от того, каким числом – нечетным или четным – этот показатель являлся.

Возведение в степень в языке программирования Паскаль: полезные ...
Каждый начинающий программист часто при знакомстве с языком программирования Паскаль сталкивается с проблемой возведения в степень числа. В данной статье мы с вами попробуем разобраться с данной проблемой.
далее
Десятичный логарифм: как рассчитывается?
Логарифмом является какая-либо степень числа, поэтому работа с формулами на основе этого показателя не представляет сложности. Символ числа обозначается - log. Стоит помнить, что, вычисляя десятичный логарифм, можно руководствоваться двумя ...
далее
Иррациональные числа: определение и для чего они используются?
Рассмотрение некоторых вопросов в рамках школьного курса математики не всегда возможно. Например, это относится к классификации числовых множеств - ее касаются лишь вскользь. Рациональные, иррациональные и многие другие - где они встречаются, для ...
далее
Что это - рациональные числа? Какие бывают еще?
Что такое рациональные числа? Старшие школьники и студенты математических специальностей, вероятно, с легкостью ответят на этот вопрос. А вот тем, кто по профессии далек от этого, будет сложнее. Что же это на самом деле такое?
далее
Что это - рациональные числа? Какие бывают еще?
Что такое натуральное число? История, область применения, свойства
Математика выделилась из общей философии в VI-V веках до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое – элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика – из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?
далее
Что такое натуральное число? История, область применения, свойства
История развития числа. Развитие понятия числа
Развитие представлений о числе составляет важную часть нашей истории. Оно является одним из основных математических понятий, которое позволяет выразить результаты измерения или счета. Исходным для множества математических теорий служит понятие числа. Оно применяется также в механике, физике, химии, астрономии и множестве других наук. Кроме того, в повседневной жизни мы постоянно пользуемся числами.
далее
История развития числа. Развитие понятия числа